Unidad 3

 LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica matemática es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal .

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursion. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones no en el contenido de una afirmación en particular.

Los métodos lógicos se usan en matemáticas para demostrar teoremas y en las ciencias de la computación, para probar que los programas ejecutan lo que deben de hacer. El lenguaje natural es un instrumento de comunicación humana, que se caracteriza por su gran flexibilidad y puede estar lleno de redundancias y ambigüedades. Estas características hacen que la lógica formal no esté interesada en el lenguaje natural. La lógica pretende ser una ciencia rigurosa y universal que permita realizar cálculos exactos. Para ello, la lógica requiere el diseño de un lenguaje artificial que sea formal, donde lo que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado de las frases y donde sólo los mensajes que cumplan rigurosamente las normas sintácticas sean aceptados como correctos. La lógica se ocupa básicamente de declaraciones o enunciados que se caracterizan porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad. Esto es, la lógica trata a las proposiciones que se pueden definir como enunciados simples, ya sean falsos o verdaderos, son proposiciones. La lógica formal es una ciencia que estudia el conocimiento que genera un conocimiento y este conocimiento puede producirse de dos formas, por constatación, de hechos o ideas o por deducción, a partir de un conocimiento se obtiene otro conocimiento. Esto es, la lógica formal estudia la deducción o razonamiento como proceso mental capaz de generar nuevos elementos de conocimiento a partir de otros. Finalmente, la lógica formal es una ciencia. Una ciencia formal. Es el estudio del razonamiento formalmente válido, es la ciencia de la inferencia deductiva. La principal aportación que la lógica hace a las ciencias está en la ordenación, estructuración y análisis de las verdades conocidas.

2.1 LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional o lógica de orden cero es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.

La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad de definido), de ahí el nombre proposicional. La lógica proposicional incluye además de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples. Lógica proposicional

El lenguaje de la lógica proposicional

Proposiciones atómicas y proposiciones moleculares

La lógica proposicional trata sobre la verdad o la falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de unas proposiciones (premisas) a otras (conclusión). Una proposición es la unidad mínima de significado susceptible de ser verdadera o falsa.

Una palabra aislada, por sí misma, no nos dice nada. La palabra "perro" tiene una referencia, pero no nos da ninguna información si no es en el contexto de una proposición como "El perro está haciendo cosas raras". Por ello una palabra, a menos que constituya una proposición, no es verdadera o falsa. Sólo tienen valor de verdad las proposiciones.

Debemos distinguir dos tipos de proposiciones: las proposiciones atómicas y las proposiciones moleculares. Las proposiciones atómicas son aquéllas que no se componen de otras proposiciones. La proposición

Todos los hombres son mortales

es una proposición atómica porque ninguno de sus elementos componentes es una proposición. Como podemos observar, una proposición atómica es verdadera o falsa, y su verdad o falsedad no depende de otras proposiciones, sino de cómo es la realidad. Si hubiera algún hombre inmortal, la proposición del ejemplo sería falsa.

Las proposiciones moleculares son aquéllas que están compuestas por proposiciones atómicas. Un ejemplo de proposición molecular sería:

Voy a comprar pan y a tomar un café

La proposición del ejemplo es molecular porque se compone de dos proposiciones atómicas:

Voy a comprar pan

Voy a tomar un café

Estas dos proposiciones atómicas están conectadas mediante la partícula "y". Una proposición molecular será verdadera o falsa, pero a diferencia de lo que ocurre con las proposiciones atómicas, su verdad o falsedad no depende directamente de la realidad, sino que depende o es función de la verdad o falsedad de las proposiciones atómicas que la componen. Esto significa que si quiero saber si es verdadero o falso que voy a comprar pan y a tomar un cafe, es necesario que conozca la verdad o falsedad de "voy a comprar pan" y de "voy a tomar un café" por separado.

3.1.1 PROPOSICIÓN

En filosofía y lógica, el término proposición se usa para referirse a:

·Las entidades portadoras de los valores de verdad.

· Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.

· El significado de las oraciones demostrativas, como «el Sol es una estrella».

Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea éste un lenguaje comun o formalizado, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se expresa por medio de signos o símbolos de un lenguaje formal.

En Lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el juicio.

Para Aristoteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de terminos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.

3.1.2 PROPOSICIONES COMPUESTAS DISYUNCIÓN, CONJUNCIÓN, NEGACIÓN, CONDICIONAL E INCONDI IONAL

Proposiciones Simples:

Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones (“no”) o términos de enlace como conjunciones (“y”), disyunciones (“o”) o implicaciones (“si . . . entonces”). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

Proposiciones Compuestas: 

Una proposición compuesta es una frase que consta de uno o varios sujetos y de un predicado que afirma algo en torno a dichos sujetos.Los sujetos de una proposición simple deben ser todos términos singulares. El predicado debe contener un verbo que exprese la acción sobre los sujetos. Enmatemáticas se usan ciertos símbolos para representar predicados de uso frecuente como: el símbolo “_”, como representante del predicado “es igual a “, y el símbolo “<” como sustituto de “es menor que”.

EJEMPLOS SIMPLES:

•La ballena es roja.

•La raíz cuadrada de 16 es 4.

•Gustavo es alto.

•Teresa va a la escuela.

Compuestas:

•La ballena no es roja.

•Gustavo no es alto.

•Teresa va a la escuela o María es inteligente.

•4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10.

•El 1 es el primer número primo y es mayor que cero.

•El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10.

•Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen.

•Si corro rápido entonces llegaré temprano.

•Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa.

•Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho.

Disyunción:

Se representan dos enunciados separadas por la expresión o basta con que una sea verdadera para que se cumpla la proposición (pvq). Su símbolo es: V 

EJEMPLOS:

Está lloviendo o es de noche.

Está feliz o está enojado.

Está caminando o está lloviendo.

Hay derivadas o hay integrales.

Conjunción

Es cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la expresión y , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción (pΛq). Su símbolo es: Λ, &, · 

EJEMPLOS:

La puerta está vieja y oxidada.

Hace frío y está nevando.

Está lloviendo y es de noche.

Tiene gasolina y tiene corriente.

Negación

Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de p, escribiendo: “Es falso que” antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la palabra “No”, (¬p) Su símbolo es: ¬, ~

EJEMPLOS:

No está lloviendo.

La señora no ceno.

Es falso que 5×2=12.

Es falso que Alemania se encuentra en Europa.

Condicional 

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, yverdadero en cualquier otro caso.

La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

EJEMPLOS:

Si está dormido entonces está soñando.

Si quiere comer entonces tiene hambre.

Si Londres está en Inglaterra entonces París está en Francia.

Si hay gasolina en mi tanque entonces mi automóvil funciona.

Bicondicional 

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

EJEMPLOS

p: ”10 es un número impar”

q: “6 es un número primo”

p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo”

p: ”3 + 2 = 7″

q: “4 + 4 = 8″

p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″

3.1.3 TABLAS DE VERDAD

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.

Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.

Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta.

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.

Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.

Ejercicios 1.3

1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?

2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos? 

Si P es falsa. 

Si P es falsa, Q es verdadera y R es verdadera. 

3. Sean P, Q y R fórmulas , entonces: 

Si R P  Q  P es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q?. 

Si Q Q P es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q?. 

Si R  PQ  P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?. 

Si (Q R)  (PQ) R es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?. 

Si (P Q)R P RQ) es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R? 

4. Sean P, Q y R fórmulas. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son tautologías: 

P Q P R (P Q ) ( Q P ) 

P P Q (P Q) (P Q) 

P (Q P) P ((P Q) R) 

(P (Q P)) Q P (P R) 

3.1.4 TAUTOLOGIAS CONTRADICION Y CONTINGENCIA

Tautología

Las tautologías son identidades lógicas que siempre serán verdaderas, no son solo un útil objeto en la lógica son usadas primordialmente para pruebas sentenciales, desempeñan un papel fundamental en los procesos de la deducción dentro de esta lógica (sentencial).

Ejemplo:

La expresión ‘(p ^ q) → (p v r)’ es una tautología.

Contradicción

Si una proposición compuesta es falsa para todas las asignaciones entonces es una contradicción. Son formulas sentencialmente contra-validas o de tercer grado. Ejemplo:

P ∧ ¬P (se lee: P y no P). Su tabla de verdad es la siguiente.

Contingencia

Se utilizan para hacer circuitos de control y automatismo, surgen cuando en dos proposiciones, su equivalencia es verdadera y falsa a la vez. Ejemplo:

A^(BVC)

3.1.5 EQUIVALENCIAS LÓGICAS

Decimos que dos proposiciones p , q son equivalentes cuando cada una de ella implica a la otra.Todas las conectivas, por definición, son equivalentes entre sí. Esto permite sustituir a una conectiva por otra en un sistema axiomático formalizado de acuerdo a ciertas reglas previamente establecidas. También es posible reducir cualquier fórmula a una fórmula elemental en la que las conectivas sean únicamente la conjunción, la disyunción y la negación. Esto permite simplificar mucho la estructura de un lenguaje formalizado porque con ello se puede reducir la cantidad de conectivas utilizadas.

A fin de indicar la equivalencia de dos proposiciones p, q se emplea cualquiera de los giros siguientes:

(E1) P es equivalente a Q

(E2) P = Q

(E3) P implica a Q, y viceversa

(E4) P es condición necesaria y suficiente para Q

El camino usual para probar la equivalencia de dos proposiciones consiste en deducir cada una de ellas a partir de la otra.

Muchas de las leyes de la lógica se expresan en términos de equivalencia.

Supongamos que las proposiciones compuestas P y Q estan formadas por las proposiciones p1……pn.

Decimos que P y Q son logicamente equivalentes y escribimos p ≡ q ,siempre que dados cualesquiera valores de verdad de p1……pn 

P y Q sean ambas verdaderas o ambas falsas.

En algunos casos, es posible que dos proposiciones compuestas tengan los mismos valores de verdad, sin importar los valores de verdad de sus proposiciones constituyentes.

Tales proposiciones son lógicamente equivalentes.

Observa la siguiente lista de equivalencias, algunas de las cuales ya se han visto en las leyes lógicas, es de utilidad cuando se busca la simplificación de fórmulas complejas :

3.1.6 REGLAS DE INFERENCIA

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.

Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.

Las reglas de inferencia logica, entre otras, son: el Modus Ponendo Ponens (MPP), el Modus Tollendo Tollens (MTT) y el Modus Tollendo ponens (MTP), expresiones latinas que traducen: Metodo que afirmando afirma, Metodo que negando niega y Metodo que negando afirma respectivamente.

Modus Ponendo Ponens (MPP):

Este método de inferencia establece que si una implicación es cierta y ademas también es cierto su antecedente, entonces su consecuente es necesariamente verdadero; de manera simbolica esto se expresa asi:

[(p→q) ᶺ p] → q

· Modus Tollendo Tollens (MTT):

Esta regla de inferencia dice que si una implicación es verdadera y es falso su consecuente, entonces su antecedente sera necesariamente falso; de manera simbolica esto se expresa asi:

[(p→q) ᶺ ~q] →q

· Modus Tollendo Ponens (MTP):

Esta ley se enuncia así: si una disyunción es verdadera y una de sus proposiciones simples es falsa, entonces necesariamente la otra proposición sera verdadera; de manera simbólica se expresa asi:

[(pᵛq) ᶺ ~p] →q o [(pᵛq) ᶺ ~p] → p

Un argumento es valido si de la conjuncion ( ᶺ ) de las premisas se implica la conclusion, es decir, siempre que todas las premisas sean verdaderas, la conclusion sera tambien verdadera.

Un argumento es un raciocino que se hae con el objeto de aceptar o rechazar una tesis; es la aceveracion de una proposicion, llamada conclusion o tesis, obtenida de otros enunciados denominados premisas o hipotesis.

La demostración es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento; es el enlace entre los conocimientos adquiridos y los conocimientos anteriores.

Los procedimientos de demostración que permiten establecer la conexión lógica entre las proposiciones fundamentales de la teoria, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusion o tesis que asi se demuestra.

Los principales tipos de demostracion son:

1. Demostración directa: La demostración directa de una proposicion t (teorema), es un conjunto de proposiciones o premisas que son postulados o proposiciones de validez aceptada, y de las cuales se infiere t como consecuencia inmediata.

2. Demostración indirecta: Se realiza una demostración indirecta cuando se establece la validez de una tesis t probando que las consecuencias de su contraria son falsas.

3. Demostración por recursión: Cuando la tesis se prueba por medio de inducción matemática.

A estos tipos de demostración se oponen dos métodos de refutación.

La refutación es el razonamiento que prueba la falsedad de una hipótesis o la inconsecuencia de su supuesta demostración; los métodos de refutación son la refutación por contradicción y la refutación por contra ejemplo.

3.1.7 ARGUMENTOS VALIDOS Y NO VALIDOS

Un argumento es una secuencia de afirmaciones, todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, suposiciones o hipótesis, la declaración final se llamará conclusión.

Argumentar consiste en deducir una conclusión a partir de una premisa que se tienen por verdaderas. Un argumento, por lo tanto, estará compuesto de unas premisas y de una conclusión

Lo que hace que podamos hablar de razonamiento es la relación que existe entre los enunciados que llamamos premisas y la conclusión.

Diremos que un argumento es argumento válidosi para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas la conclusión es verdadera.

Argumento: Conjunto de formulas para el razonamiento logico.

Argumento Valido: Un argumento es valido si se cumple.

· Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas.

· Pero también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y conclusión falsas.

Lo que NUNCA será es válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.

De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento:

1. Identificar las premisas y la conclusión

2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión

3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas.

Estos se llamarán renglones críticos

4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un Argumento válido.

5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. En cuyo caso se dirá Argumento inválido.

Las premisas pueden ser verdaderas o falsas, la conclusión puede ser verdadera o falsa, y el argumento puede ser válido o inválido.

· Evaluación de los argumentos mediante tablas de verdad:

Todos los argumentos pueden convertirse en un condicional, pues despues de todo lo que un argumento esta afirmando, es que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusion tambien lo es. Dicho de otro modo :

P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn→C

Es decir, un argumento es, en realidad, un condicional en el que en antecedente es la conjunción de todas las premisas (P1∧P2∧…∧Pn) y el consecuente es la conclusión.

Como sabemos, la tabla de verdad del condicional nos dice que este solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y verdadero en el resto de los casos.

Esto coincide completamente con la definición de argumento valido, segun la cual una argumento será válido exactamente en los mismos casos en que el condicional que le corresponde lo sea. Como un condicional no puede ser verdadero si el antecedente es verdadero y el consecuente falso, un argumento no podrá ser válido si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa.

No siempre es fácil averiguar intuitivamente si un argumento es válido o no, por lo que en ocasiones es necesario recurrir a métodos más fiables que la intuición. Dado que podemos convertir cualquier argumento en un condicional, podemos usar el método de las tablas de verdad para averiguar si un argumento dado es válido o no.

Evidentemente, un argumento sólo será válido cuando el condicional correspondiente sea una tautología y no será válido en el resto de casos (si es una contradicción o si es una contingencia).

Premisa1) Si estudio entonces aprobaré

Premisa2) No he estudiado

Conclusión: No aprobaré

Lo primero que debemos hacer para evaluar o decidir si el argumento es válido o no, es formalizarlo:

Formalización de la premisa1): p→q (si estudio entonces aprobaré)

Formalización de la premisa2): ¬p (no estudio)

Formalización de la concusión: ¬q (no apruebo)

En segundo lugar, tenemos que convertir el argumento en un condicional. Como hemos visto, el antecedente del condicional estará formado por la conjunción de todas las premisas, y el consecuente por la conclusión, de modo que obtenemos lo siguiente:

[( p → q ) ᶺ ¬p] → q

Éste es, en consecuencia, el condicional que le corresponde al argumento del ejemplo. Es el momento de hacer su tabla de verdad, que quedará como sigue:

Como vemos, la tabla de verdad nos revela que el condicional analizado es una contingencia, lo que significa que puede ser verdadero o no, es decir, que es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. Por lo tanto el argumento correspondiente no será válido, como dedujimos intuitivamente en el apartado anterior.

3.1.8 DEMOSTRACIÓN FORMAL DIRECTA POR CONTRADICCIÓN

Un argumento es una secuencia de afirmaciones, todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, suposiciones o hipótesis, la declaración final se llamará conclusión.

Argumentar consiste en deducir una conclusión a partir de una premisa que se tienen por verdaderas. Un argumento, por lo tanto, estará compuesto de unas premisas y de una conclusión

Lo que hace que podamos hablar de razonamiento es la relación que existe entre los enunciados que llamamos premisas y la conclusión.

Diremos que un argumento es argumento válidos y para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas la conclusión es verdadera.

Argumento: Conjunto de formulas para el razonamiento lógico.

Argumento Valido: Un argumento es valido si se cumple:

· Un argumento puede ser válido con premisas y conclusión verdaderas.

· Pero también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o incluso con premisas y conclusión falsas.

Lo que NUNCA será es válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.

De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento:

1. Identificar las premisas y la conclusión

2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión

3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas.

Estos se llamarán renglones críticos

4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un Argumento válido.

5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. En cuyo caso se dirá Argumento inválido.

Las premisas pueden ser verdaderas o falsas, la conclusión puede ser verdadera o falsa, y el argumento puede ser válido o inválido.

· Evaluación de los argumentos mediante tablas de verdad:

Todos los argumentos pueden convertirse en un condicional, pues despues de todo lo que un argumento esta afirmando, es que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. Dicho de otro modo :

P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn→C

Es decir, un argumento es, en realidad, un condicional en el que en antecedente es la conjunción de todas las premisas (P1∧P2∧…∧Pn) y el consecuente es la conclusión.

Como sabemos, la tabla de verdad del condicional nos dice que este solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y verdadero en el resto de los casos.

Esto coincide completamente con la definición de argumento valido, segun la cual una argumento será válido exactamente en los mismos casos en que el condicional que le corresponde lo sea. Como un condicional no puede ser verdadero si el antecedente es verdadero y el consecuente falso, un argumento no podrá ser válido si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa.

No siempre es fácil averiguar intuitivamente si un argumento es válido o no, por lo que en ocasiones es necesario recurrir a métodos más fiables que la intuición. Dado que podemos convertir cualquier argumento en un condicional, podemos usar el método de las tablas de verdad para averiguar si un argumento dado es válido o no.

Evidentemente, un argumento sólo será válido cuando el condicional correspondiente sea una tautología y no será válido en el resto de casos (si es una contradicción o si es una contingencia).

Premisa1) Si estudio entonces aprobaré

Premisa2) No he estudiado

Conclusión: No aprobaré

Lo primero que debemos hacer para evaluar o decidir si el argumento es válido o no, es formalizarlo:

Formalización de la premisa1): p→q (si estudio entonces aprobaré)

Formalización de la premisa2): ¬p (no estudio)

Formalización de la concusión: ¬q (no apruebo)

En segundo lugar, tenemos que convertir el argumento en un condicional. Como hemos visto, el antecedente del condicional estará formado por la conjunción de todas las premisas, y el consecuente por la conclusión, de modo que obtenemos lo siguiente:

[( p → q ) ᶺ ¬p] → q

Éste es, en consecuencia, el condicional que le correspon de al argumento del ejemplo. Es el momento de hacer su tabla de verdad, que quedará como sigue:

Como vemos, la tabla de verdad nos revela que el condicional analizado es una contingencia, lo que significa que puede ser verdadero o no, es decir, que es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. Por lo tanto el argumento correspondiente no será válido, como dedujimos intuitivamente en el apartado anterior.

3.2 LÓGICA DE PREDICADOS

La lógica de predicados es un lenguaje mas de la matemáticas. Sin menospreciar otros sistemas de lógica que se han estudiado, algunos por razones filosóficas y otros por la importancia de sus aplicaciones, incluyendo las ciencias de la computación.La lógica de predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia,tema mencionado anteriormente. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas.

En las ciencias de la computación, sabemos que muchas cosas pueden ser codificadas en bits y esto justifica la restricción de la lógica boleana (dos valores).En ocasiones es conveniente hacer referencia directamente a tres ó mas valores discretos.

Por ejemplo una compuerta lógica puede estar en un estado indeterminado antes de basarse en un nivel estable de voltaje. Esto puede ser formalizado en tres valores lógicos con un valor {$ X $} en la suma de de verdadero y falso. La definición de los operadores se extiende a los nuevos valores, por ejemplo, {$ X $} y verdadero = {$ X $}.

Veamos un ejemplo:

Consideremos las 2 sentencias, “1 < 2″ y “Esta lloviendo”. la primera sentencia siempre es verdadera mientras que la segunda es verdadera solo en algunas ocasiones. esto puede ser expresado en el cálculo de predicados como: ‘Para todas ocasiones de t, el valor “1 < 2″ en la ocasión t, es verdadero’ y ‘Para algunas ocasiones de t, el valor de “Esta lloviendo”, en la ocasión t es verdadero’.

3.2.1 CUANTIFICADORES

1. Un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen dos tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos en la siguiente tabla:

Nombre Notación Se lee

cuantificador universal Para todo x…

cuantificador existencial Existe por lo menos un x…

Los cuantificadores:

· Cuantificador universal (para todo). El cuantificador universal permite referirse a todos los individuos del universo del discurso.

· Cuantificador existencial (existe). El cuantificador existencial permite referirse a algunos de los individuos del universo del discurso.

Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan en lógica de predicados son:

El cuantificador universal; ” indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo:

” X . . . .

Establece que “para todo X, es verdad que . . . “

El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo:

$ X . . . .

Establece que “existe un X, tal que . . . “

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que se leen “para todo x, es verdad que p” y “existe por lo menos un y tal que q es verdad”.

Ejemplo:

De la proposición:

Todos lo números son pares

Se convierten

Existe x tal que x es un número y x es par.

3.2.2 REPRESENTACIÓN Y EVALUACIÓN DE PREDICADOS

La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se las representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados.

Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.

La lógica de predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas. 

El cuantificador universal; “ indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo: 

“ X . . . .

Establece que “para todo X, es verdad que . . . “ 

El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es 

verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo: 

$ X . . . .

Establece que “existe un X, tal que . . . “

Ejemplos de predicados cuantificados:

“ X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].

“ Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].

$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].

3.3 ÁLGEBRA DECLARATIVA

Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.

Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es:

Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:

(B) si p es una proposición lógica, es una fbf.

(R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).

(R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.

En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Involución

¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)

Idempotencia

(p ^ ¬ p) ↔ p

(p v ¬ p) ↔ p

Conmutatividad

a) de la disyunción: p v q ↔ q v p

b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p

Asociatividad

a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)

b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)

Distributividad:

De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)

De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)

Leyes de De Morgan

~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q

“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”

~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q

“La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”

Negación de una Implicación

Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.

Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es:

Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:

(B) si p es una proposición lógica, es una fbf.

(R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).

(R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.

En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Involución

¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)

Idempotencia

(p ^ ¬ p) ↔ p

(p v ¬ p) ↔ p

Conmutatividad

a) de la disyunción: p v q ↔ q v p

b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p

Asociatividad

a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)

b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)

Distributividad:

De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)

De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)

Leyes de De Morgan

~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q

“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”

~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q

“La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”

Negación de una Implicación

Ejemplo: Sea la implicación p: hoy es viernes entonces mañana es domingo

Su negación es ~ p: hoy es viernes y mañana no es domingo.

3.4 INDUCCIÓN MATEMÁTICA

En las matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero a tiene la propiedad P.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n tenga la propiedad P implica que n + 1 también la tiene.

Conclusión: Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P.

Principio de Inducción Matemática.

Si S en un conjunto de enteros positivos tal que

(B) 1 e S

(I) k e S Þ (k+1) e S

entonces S contiene todos los enteros positivos.

En en principio de Inducción Matemática son muy importantes los nombres asociados y en la literatura técnica, como es costumbre, no se presenta con detalle los pasos, por lo que resulta indispensable conocer la nomenclatura.

Nomenclatura de Inducción Matemática.

(B) se llama Caso Base o caso inicial

(I) se llama Paso de Inducción

k e S se llama Hipótesis de Inducción

Y como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática.

Es importante que el alumno comprenda y memorice cada uno de estos conceptos y su participación directa en la propiedad.

Esencialmente lo que enuncia el principio de inducción matemática es, si logramos establecer que el primer entero positivo cumple, una propiedad, y si partiendo de que un entero arbitrario también la cumple, se puede comprobar que el entero siguiente también tiene la propiedad entonces concluimos que todos los enteros positivos tienen la propiedad indicada.

Por lo que otra forma de enunciar el Principio de Inducción Matemática es:

Si F(n) es una proposición abierta que involucra enteros y se tiene (B) F(1) es verdadera; o sea, se que cumple para n=1 (I) F(K) Þ F(k+1); Si se cumple para n = k entonces también se cumple para n=k+1.

Concluimos que la proposición es verdadera para todos los enteros positivos.

El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. Muchas propiedades que incluyen la definición de de factorial se pueden probar por Inducción Matemática, como el Teorema del Binomio de Newton, el Triángulo de Pascal y algunas propiedades de combinatoria que involucran combinaciones y permutaciones. Otra forma de utilizarla es para proporcionar definiciones y formalizar conceptos.

3.5 APLICACIÓN DE LA LÓGICA MATEMÁTICA EN LA COMPUTACIÓN

La lógica computacional

Es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos.

CIRCUITOS COMPUTACIONALES

El nivel menos abstracto dentro de una computadora está constituido por circuitos electrónicos que responden a diferentes señales eléctricas, siguiendo los patrones de la lógica booleana; esto es, compuertas lógicas que devuelven un valor dependiendo de las entradas que se le dan al sistema. Existen ocho compuertas lógicas básicas con las cuales se pueden formar sistemas muy complejos: AND, OR, Inverter, Buffer, NAND, NOR, XOR y XNOR. Todas ellas son representadas mediante un símbolo y una tabla de valores de verdad, que es simplemente un cuadro donde se ubican todas las posibles entradas y los valores que devolvería la compuerta dados dichos valores. Todo sistema computacional, por muy complejo que sea, no está compuesto por más que circuitos electrónicos que únicamente entienden un lenguaje binario. La lógica computacional se encarga de modelar y optimizar tales sistemas a este nivel.

ALGORITMOS

Conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.

Dados un estado inicial y una entrada, siguiéndolos pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.

El pseudocódigo es una herramienta algorítmica que permite escribir pseudoprogramas(una imitación de un programa real) utilizando un lenguaje de pseudoprogramación que es una imitación de los lenguajes de programación de alto nivel. Así, un pseudocódigo es una combinación de símbolos (+, -, *, /, %, >, >=, <, <=, !=, ==, y, o, no), términos(Leer, Imprimir, Abrir, Cerrar, Hacer…Mientras, Mientras…Hacer, Para…Mientras, etc.) y otras características comúnmente utilizadas en uno o más lenguajes de alto nivel.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

La lógica computacional es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos.

CIRCUITOS COMPUTACIONALES

El nivel menos abstracto dentro de una computadora está constituido por circuitos electrónicos que responden a diferentes señales eléctricas, siguiendo los patrones de la lógica booleana; esto es, compuertas lógicas que devuelven un valor dependiendo de las entradas que se le dan al sistema. Existen ocho compuertas lógicas básicas con las cuales se pueden formar sistemas muy complejos: AND, OR, Inverter, Buffer, NAND, NOR, XOR y XNOR. Todas ellas son representadas mediante un símbolo y una tabla de valores de verdad, que es simplemente un cuadro donde se ubican todas las posibles entradas y los valores que devolvería la compuerta dados dichos valores. Todo sistema computacional, por muy complejo que sea, no está compuesto por más que circuitos electrónicos que únicamente entienden un lenguaje binario. La lógica computacional se encarga de modelar y optimizar tales sistemas a este nivel.

ALGORITMOS

En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.

Dados un estado inicial y una entrada, siguen dolos pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.

El pseudocódigo es una herramienta algorítmica que permite escribir pseudoprogramas (una imitación de un programa real) utilizando un lenguaje de pseudoprogramación que es una imitación de los lenguajes de programación de alto nivel. Así, un pseudocódigo es una combinación de símbolos (+, -, *, /, %, >, >=, <, <=, !=, ==, y, o, no), términos (Leer, Imprimir, Abrir, Cerrar, Hacer…Mientras, Mientras…Hacer, Para…Mientras, etc.)Y otras características comúnmente utilizadas en uno o más lenguajes de alto nivel.

PROGRAMACIÓN LÓGICA

La programación lógica consiste en la aplicación del corpus de conocimiento sobre lógica para el diseño de lenguajes de programación; La programación lógica es un tipo de paradigmas de programación dentro del paradigma de programación declarativa. El resto de los subparadigmas de programación dentro de la programación declarativa son: programación funcional, programación basada en restricciones, programas DSL (de dominio específico) e híbridos. La programación lógica gira en torno al concepto de predicado, o relación entre elementos.

La programación funcional se basa en el concepto de función (que no es más que una evolución de los predicados), de corte más matemático.

La programación lógica encuentra su hábitat natural en aplicaciones de inteligencia artificial o relacionada:

•Sistemas expertos, donde un sistema de información imita las recomendaciones de un experto sobre algún dominio de conocimiento.

•Demostración automática de teoremas, donde un programa genera nuevos teoremas sobre una teoría existente.

•Reconocimiento de lenguaje natural, donde un programa es capaz de comprender (con limitaciones) la información contenida en una expresión lingüística humana.

La programación lógica también se utiliza en aplicaciones más “mundanas” pero de manera muy limitada, ya que la programación tradicional es más adecuada a tareas de propósito general.